%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\input psfig.tex
\input epsf
\souschapcourant={\ninepoint 5.2. DESCRIPTION DES DIFF\'ERENTES COMPOSANTES DU
PH\'ENOM\`ENE}
\vglue45mm
{\chap{5}}
\gros
\vbox{\hbox{PR\'ECESSION-NUTATION}   
\bigskip
\hrule height 1pt depth 1pt}
\vskip2cm
\noindent
{\sectd{5.1. INTRODUCTION}}%
\rm
\noindent
Le plan de l'\'equateur, d\'efini comme le plan normal \`a l'axe de rotation de 
la Terre, et le plan de l'\'ecliptique, d\'efini comme le plan contenant le 
rayon vecteur Soleil-Terre et le vecteur vitesse orbitale de la Terre, ne sont 
pas fixes par rapport \`a un syst\`eme de r\'ef\'erence c\'eleste inertiel. 
Leur d\'eplacement au cours du temps constitue le ph\'enom\`ene de 
pr\'ecession-nutation. La {\it pr\'ecession} regroupe, par convention, l'ensemble 
des termes s\'eculaires, c'est-\`a-dire des termes d\'ependant des premi\`eres 
puissances du temps; ces termes peuvent provenir du d\'eveloppement de termes 
p\'eriodiques \`a tr\`es longues p\'eriodes ou bien \^etre de v\'eritables termes 
s\'eculaires. La {\it nutation} regroupe l'ensemble des termes p\'eriodiques 
et de Poisson
explicitement conserv\'es comme tels. 
\par
La repr\'esentation math\'ematique des d\'eplacements dus \`a l'action 
du couple luni-solaire, ou {\it pr\'ecession} et {\it nutation luni-solaires}, 
s'obtient par la r\'esolution des \'equations de la rotation de la Terre, 
tandis que celle des d\'eplacements dus \`a l'action des plan\`etes, 
ou pr\'ecession plan\'etaire, s'obtient par l'int\'egration du mouvement 
de l'ensemble des plan\`etes du 
syst\`eme solaire; les amplitudes des diff\'erents d\'eplacements d\'ependent 
de constantes d'int\'egration \`a d\'eterminer par l'observation. 
\par
La figure 5.1 repr\'esente le d\'eplacement c\'eleste du p\^ole de 
rotation de la Terre produit par le ph\'enom\`ene de pr\'ecession-nutation 
luni-solaire vu de l'ext\'erieur de la sph\`ere c\'eleste, dans un plan 
parall\`ele au plan de l'\'ecliptique (a) et dans un plan perpendiculaire (b).
\par
Ces d\'eplacements de l'\'equateur et de l'\'ecliptique dus \`a la 
pr\'ecession et \`a la nutation provoquent des variations des coordonn\'ees des 
objets c\'elestes d\'efinies par rapport \`a l'\'equateur (coordonn\'ees 
\'equatoriales) ou  l'\'ecliptique (coordonn\'ees \'ecliptiques) et 
compt\'ees par rapport au point $\gamma$, \nobreak 
n\oe ud ascendant de l'\'ecliptique sur 
l'\'equateur.\goodbreak
\midinsert
%\vglue5mm
\hglue-75mm
%\leftline{
\centerline{\psfig{figure=fig51jls180.eps,height=8cm,width=15cm}
}
\vskip5mm
 \centerline{{\bf Fig. 5.1.} D\'eplacement c\'eleste du p\^ole de rotation 
produit par la pr\'ecession-nutation luni-solaire.}
\vglue7mm
\endinsert
%\pard
\noindent
{\sectd{5.2. DESCRIPTION DES DIFF\'ERENTES COMPOSANTES DU PH\'ENOM\`ENE}}%
{\sectt{5.2.1. La pr\'ecession luni-solaire}}%
\topinsert
\noindent
\vglue-85mm
\hglue-13mm
\centerline{\epsfxsize=17cm
        \epsffile{fig52ch140397.ps}}
%\psfig{figure=fig52chr.ps,height=7cm,width=15cm}}
\noindent
\vglue-5mm\noindent
{\bf Fig. 5.2.} Variations, sous l'effet de l'aberration annuelle et de la
 pr\'ecession-nutation, 
des\hfill\break
\phantom{\bf Fig. 5.2.} coordonn\'ees de l'\'etoile $\gamma$ Draconis sur l'intervalle [1970, 2000].
\vglue12mm
\endinsert
\rm
\noindent
La composante principale de la pr\'ecession fait d\'ecrire \`a l'axe de rotation 
un c\^one de demi-ouverture $23^\circ 26'$ autour de l'axe de l'\'ecliptique en 
25$\,$700 ans et produit ainsi un d\'eplacement de l'ordre de $50''$ par an du point 
$\gamma$. La 
pr\'ecession des \'equinoxes fut d\'ecouverte, gr\^ace \`a son amplitude 
importante, par Hipparque, au deuxi\`eme si\`ecle avant notre \`ere au cours de 
la construction du premier grand catalogue d'\'etoiles comportant les 
coordonn\'ees d'environ 1$\,$000 \'etoiles. Hipparque constata en effet une 
variation de la longitude \'ecliptique des \'etoiles de l'ordre de $1^\circ$ par 
si\`ecle en comparant les valeurs obtenues par lui-m\^eme \`a celles que 
Timocharis avait obtenues un si\`ecle et demi plus t\^ot (Neugebauer, 1975); 
ainsi la longitude c\'eleste de l'\'etoile $\alpha$ Virginis, appel\'ee l'\'Epi 
de la Vierge, ou Spica, avait \'et\'e \'evalu\'ee, approximativement, \`a $172^\circ$  par 
Timocharis vers l'an 290 avant notre \`ere et \`a $174^\circ$  par Hipparque 
vers l'an 140 avant notre \`ere, ce qui correspond \`a une variation de l'ordre de 
$2^\circ$  en 150 ans, c'est-\`a-dire environ $50''$ par an, en 
moyenne. Cette variation fut interpr\'et\'ee correctement par Hipparque comme 
un d\'eplacement r\'etrograde de l'\'equinoxe le long de l'\'ecliptique, puis 
par Ptol\'em\'ee comme une rotation d'ensemble des \'etoiles fixes autour des 
p\^oles de l'\'ecliptique. Copernic admit au seizi\`eme si\`ecle qu'il s'agissait 
d'une variation de la direction de l'axe de rotation dans l'espace, et Newton 
expliqua, au dix-septi\`eme si\`ecle, qu'elle \'etait produite par l'action du 
couple luni-solaire sur le renflement \'equatorial de la Terre. 
\part
{\sectt{5.2.2. La nutation luni-solaire}}%
\rm
\noindent
La nutation est une somme de termes p\'eriodiques qui produit des ondulations 
autour du c\^one de pr\'ecession, avec des p\'eriodes comprises entre 4 jours 
et 18.61 ans et des amplitudes atteignant $9''\!.\,20$, ainsi que des oscillations de 
l'\'equinoxe vrai le long de l'\'ecliptique, de m\^emes p\'eriodes et avec des
amplitudes atteignant $17''\!.\,2$. La nutation luni-solaire fut pr\'evue par Newton, 
mais sa composante principale, de p\'eriode 18.61 ans, ne fut  
d\'ecouverte qu'en 1748  par Bradley, qui avait  dej\`a d\'ecouvert 
l'aberration annuelle ({\it cf. }7.1.1.5), par l'interpr\'etation d'une s\'erie d'observations de 
l'\'etoile $\gamma$ Draconis d'une dur\'ee de vingt ann\'ees. 
D'Alembert en donna l'explication, l'ann\'ee suivante, en construisant la 
premi\`ere th\'eorie analytique du mouvement de pr\'ecession-nutation de la 
Terre. La figure 5.2 montre les variations des coordonn\'ees de $\gamma$ Draconis,
sur l'intervalle [1970, 2000], sous l'effet de la pr\'ecession (trait plein
presque rectiligne), de la nutation (lieu des points ronds repr\'esentant
les positions apparentes au d\'ebut de chaque ann\'ee) et de l'aberration 
(boucles annuelles de la courbe).

La modification des amplitudes des composantes de la nutation c\'eleste par 
la non-rigidit\'e de la Terre, en particulier par l'\'elasticit\'e du manteau 
et par l'existence d'un noyau fluide \`a l'int\'erieur de la Terre, a \'et\'e 
d\'ecouverte et interpr\'et\'ee correctement d\`es la fin du dix-neuvi\`eme 
si\`ecle et le d\'ebut du vingti\`eme si\`ecle. Toutefois, il a fallu 
attendre 1984 pour que soit adopt\'ee par l'UAI une repr\'esentation 
conventionnelle de la nutation relative \`a un mod\`ele de Terre 
non-rigide d\'eduit de la sismologie.

\part
{\sectt{5.2.3. La pr\'ecession plan\'etaire}}%
\rm
\noindent
Le lent mouvement de l'\'ecliptique d\^u  \`a l'action gravitationnelle des 
plan\`etes sur la Terre consiste en un d\'eplacement de la ligne des 
n\oe uds de l'\'ecliptique mobile sur un plan fixe, par exemple 
l'\'ecliptique J2000, et en une lente rotation de l'\'ecliptique autour 
de la ligne des n\oe uds. Ce mouvement de pr\'ecession plan\'etaire est 
issu de la composition de plusieurs termes p\'eriodiques, dont les plus 
importants ont des p\'eriodes de l'ordre de 75$\,$000 ans, qui sont 
d\'evelopp\'es en puissances du temps.  
\par
La valeur de la longitude du n\oe ud ascendant de l'\'ecliptique 
mobile sur l'\'ecliptique J2000 est de $174^\circ 52'23''\!.\,988$ en J2000. 
Le d\'eplacement du plan de l'\'ecliptique est responsable d'une 
pr\'ecession additionnelle de l'\'equinoxe, de l'ordre de $10''$ 
par si\`ecle, et d'une variation de l'ordre de 
$47''$ par si\`ecle de l'obliquit\'e de l'\'ecliptique pour la 
p\'eriode actuelle. 
Le d\'eplacement du plan de l'\'ecliptique fut soup\c conn\'e par Euler au 
dix-huiti\`eme si\`ecle; il l'expliqua \`a partir des perturbations 
plan\'etaires s'exer\c cant sur l'orbite de la Terre. 
%\part
\vskip8mm\noindent
{\sectt{5.2.4. La pr\'ecession g\'en\'erale}}%
\rm
\noindent
L'ensemble de la pr\'ecession luni-solaire et de la pr\'ecession plan\'etaire 
constitue la {\it pr\'ecession g\'en\'erale}. Le d\'eplacement s\'eculaire de 
l'\'equinoxe le long de l'\'ecliptique mobile est la pr\'ecession g\'en\'erale 
en longitude. Cet effet r\'esulte de la pr\'ecession luni-solaire dans le sens 
r\'etrograde le long de l'\'ecliptique de l'\'epoque de r\'ef\'erence et de la 
pr\'ecession plan\'etaire dans le sens direct sur l'\'equateur mobile, due au 
d\'eplacement de l'\'ecliptique.
%\part
\vskip8mm\noindent
{\sectt{5.2.5. La pr\'ecession g\'eod\'esique}}%
\rm
\noindent
Si l'on se place dans le cadre de la relativit\'e g\'en\'erale, un syst\`eme
de r\'ef\'erence
 g\'eocentrique DGRS  plac\'e dans le champ gravitationnel du Soleil est 
soumis \`a une rotation relativiste par rapport \`a un  syst\`eme
de r\'ef\'erence 
barycentrique BRS; 
le terme s\'eculaire principal de cette rotation, d'amplitude 
$1''\!.\,92$ par si\`ecle, est appel\'e {\it pr\'ecession g\'eod\'esique} 
({\it cf}. 4.1.1.2) ou pr\'ecession de De Sitter (1916). Il existe \'egalement 
des termes p\'eriodiques dont le plus important est de p\'eriode annuelle 
et d'amplitude $1''\!.\,53 \times 10^{-4}$; ces termes p\'eriodiques, 
qui constituent la {\it nutation g\'eod\'esique}, ne sont pas consid\'er\'es 
dans le mod\`ele conventionnel actuel de la nutation. La pr\'ecession 
et la nutation g\'eod\'esiques sont ins\'eparables des autres effets 
de pr\'ecession-nutation dans les observations.
%\part
%\vfill\eject
\vskip8mm\noindent
{\sectt{5.2.6. La nutation plan\'etaire}}%
\rm
\noindent
L'\'equateur subit \'egalement des perturbations plan\'etaires \`a courtes 
p\'eriodes, d'amplitudes inf\'erieures \`a $10^{-4^{\prime\prime}}$, dues principalement \`a 
V\'enus et Jupiter. Ces termes ne sont pas pris en compte dans le mod\`ele 
conventionnel actuel de la pr\'ecession-nutation, mais les nutations d'origine 
plan\'etaire sont consid\'er\'ees dans des d\'eveloppements plus r\'ecents 
(Kinoshita et Souchay, 1990).
\goodbreak
\souschapcourant={\ninepoint 5.3 EXPLICATION  DE LA PR\'ECESSION
 ET DE LA NUTATION LUNI-SOLAIRES}  
\pard\noindent
{\sectd{5.3. EXPLICATION SCH\'EMATIQUE DE LA PR\'ECESSION ET DE LA NUTATION\hfill\break 
\phantom{5.3. }LUNI-SOLAIRES}}%
\rm
\noindent
L'attraction luni-solaire a pour effet de faire graviter le barycentre du 
syst\`eme Terre-Lune autour du Soleil et le centre de masse de la Lune autour 
de la Terre. \`A l'effet de la force d'attraction luni-solaire s'ajoute l'effet 
du couple luni-solaire sur l'ensemble des masses de la Terre; celle-ci 
n'\'etant pas un corps sph\'erique et homog\`ene, mais un ellipso\"\i de de 
r\'evolution aplati, le couple n'est pas nul.     
        La figure 5.3 donne la repr\'esentation intuitive, due \`a Newton, du 
couple produit par l'attraction du Soleil S, appliqu\'e d'une part \`a la partie de 
la Terre situ\'ee \`a l'int\'erieur de la sph\`ere de centre O et tangente 
int\'erieurement \`a l'ellipso\"\i de terrestre en ses deux p\^oles (points A et B, 
ainsi que A$^\prime$ et B$^\prime$), et d'autre part, \`a la partie de l'ellipso\"\i de ext\'erieure 
\`a la sph\`ere appel\'ee bourrelet \'equatorial (points M et M$^\prime$). 
 Le couple r\'esultant appliqu\'e \`a 
l'ensemble des masses contenues dans la sph\`ere est nul, par raison de 
sym\'etrie, tandis que le couple r\'esultant appliqu\'e au bourrelet 
\'equatorial est situ\'e dans l'\'equateur et normal au plan de la figure. 
\par
 L'attraction du Soleil sur l'ensemble des masses de la Terre produit 
ainsi un couple qui tendrait \`a faire co\"\i ncider l'\'equateur avec 
l'\'ecliptique si la Terre n'avait pas de rotation; par suite de la rotation 
de la Terre, ce couple produit un d\'eplacement de l'axe de rotation de la 
Terre de direction OP autour de l'axe de l'\'ecliptique OQ avec une vitesse 
perpendiculaire au plan OPS. Le couple produit par l'attraction solaire est 
variable avec la d\'eclinaison du Soleil : il est nul aux \'equinoxes et 
maximum aux solstices. Ce couple pr\'esente ainsi une in\'egalit\'e de 
p\'eriode semi-annuelle et \'egalement toutes les autres in\'egalit\'es 
p\'eriodiques li\'ees \`a l'orbite de la Terre autour du Soleil.  
\par
 L'attraction de la Lune sur l'ensemble des masses de la Terre produit 
un couple similaire, le plan de r\'evolution de la Lune autour de la Terre 
ayant une tr\`es faible inclinaison, en moyenne de $5^\circ\!.2$, sur le plan de 
l'\'ecliptique ; l'amplitude de ce couple est environ 2.2 fois plus grande 
que pour le Soleil et pr\'esente des variations p\'eriodiques tr\`es importantes.
En effet, la Lune d\'ecrit autour de la Terre une orbite dont l'inclinaison 
avec le plan de l'\'ecliptique est variable. Le n\oe ud ascendant sur 
l'\'ecliptique r\'etrograde avec une p\'eriode de 18.61 ans, ce qui produit une 
oscillation du n\oe ud ascendant de cette orbite dans l'\'equateur de part et 
d'autre du point $\gamma$ dont il peut s'\'ecarter de $13^\circ$. Le couple 
produit par l'attraction lunaire est ainsi variable avec la d\'eclinaison de 
la Lune et de p\'eriode 13.66 jours, ainsi qu'avec la longitude du n\oe ud 
ascendant de son orbite sur l'\'ecliptique de p\'eriode 18.61 ans; 
il comprend \'egalement toutes les autres in\'egalit\'es p\'eriodiques 
li\'ees \`a l'orbite de la Lune autour de la Terre. 
\par
 La pr\'ecession luni-solaire est produite par la partie constante du 
couple perturbateur total; elle fait d\'ecrire, au p\^ole de rotation, 
un cercle autour du p\^ole de l'\'ecliptique en 25$\,$700 ans environ 
(Fig. 5.1). Le p\^ole de rotation anim\'e du seul mouvement de 
pr\'ecession est appel\'e p\^ole moyen.     
\par
La nutation luni-solaire est produite par l'ensemble des termes 
p\'eriodiques du couple luni-solaire. Chacun des termes de nutation, 
consid\'er\'e s\'epar\'ement, fait d\'ecrire au p\^ole vrai une ellipse de 
nutation autour du p\^ole moyen, de demi-grand axe de l'ordre de 
$9''\!.\,20$ pour le terme principal de p\'eriode 18.61 ans, $0''\!.\,57$ 
pour le terme semi-annuel et $0''\!.098$ pour le terme semi-mensuel. 
 \par
 Le c\^one des directions de l'axe de rotation d\^u  \`a l'ensemble du 
ph\'enom\`ene de pr\'ecession-nutation luni-solaire a pour base une courbe de 
forme cyclo\"\i dale non boucl\'ee autour du p\^ole de l'\'ecliptique. 
La figure 5.4 (a) illustre la composition du d\'eplacement annuel de 
pr\'ecession du p\^ole moyen
 $\aindb{P}{m}$ avec la nutation semi-annuelle du 
p\^ole vrai $\aindb{P}{v}$ 
autour de $\aindb{P}{m}$ et la 
figure 5.4  (b) illustre le d\'eplacement du p\^ole $\aindb{P}{v}$
 sur 6 mois r\'esultant 
de la pr\'ecession, de la nutation semi-annuelle et de la nutation 
semi-mensuelle.
 Les points de rebroussement ${\rm E}_1$, ${\rm E}_2$, ${\rm E}'_1$ correspondent aux 
\'equinoxes et les points ${\rm S}_1$ et ${\rm S}_2$ aux solstices. 
\midinsert
\vglue-9cm\noindent
%\hglue-75mm 
\centerline{\psfig{figure=fig53jlsfin180.eps,height=16cm,width=315mm}
}
\noindent
\vglue2cm\noindent
{\bf Fig. 5.3.} Repr\'esentation sch\'ematique de l'action du couple
solaire sur la Terre.  
\endinsert
\souschapcourant={\ninepoint 5.4. REPR\'ESENTATIONDES CLASSIQUE DES EFFETS DE 
PR\'ECESSION-NUTATION}
\pard
%\vskip15mm\noindent
{\sectd{5.4. REPR\'ESENTATION CLASSIQUE DES EFFETS DE PR\'ECESSION-\hfill\break
\phantom{5.4.} NUTATION}}%
\rm
\noindent
On s\'epare g\'en\'eralement les effets de la pr\'ecession et de la nutation en 
distinguant les \'el\'ements vrais d'une date $t$, rapport\'es aux plans vrais, 
des \'el\'ements moyens de la m\^eme date $t$ rapport\'es aux plans moyens. 
\par
Les plans moyens sont des plans fictifs affect\'es par la seule 
pr\'ecession; ils se d\'eduisent soit des plans moyens de l'\'epoque de 
r\'ef\'erence, par exemple J2000, en ne consid\'erant que l'effet de la 
pr\'ecession entre cette \'epoque et la date $t$, soit des plans vrais de la 
date $t$, en retranchant l'effet de la nutation.
\topinsert
%\vglue1cm\noindent
\hglue-7cm 
%\centerline{
%        \epsfxsize=12cm
%        \epsffile{fig54jls180.eps}}
\centerline{\psfig{figure=fig54jlsfin180edi2.eps,width=13cm}
}
\vglue5mm
\noindent
{\bf Fig. 5.4.} Composition du d\'eplacement de pr\'ecession du p\^ole moyen 
${\rm P}_{\!{\rm m}}$ avec 
les composantes\hfill\break
\phantom{\bf Fig. 5.4.} semi-annuelle et semi-mensuelle de la nutation luni-solaire
(a) et d\'eplacement du p\^ole\hfill\break
\phantom{\bf Fig. 5.4.} vrai ${\rm P}_{\!{\rm v}}$ sur 6 mois (b) (d'apr\`es
Melchior, 1973).
\vglue9mm
\endinsert
\vglue3mm
\par
En fait, les observations astrom\'etriques se rapportent bien 
directement \`a l'\'equateur vrai, mais, except\'e les effets d'aberration et 
de parallaxe annuelles, ces observations ne sont sensibles \`a la position de 
l'\'ecliptique qu'au deuxi\`eme ordre, par l'interm\'ediaire de l'effet de 
l'orientation du couple de pr\'ecession-nutation sur la position de 
l'\'equateur; aucune observation astrom\'etrique ne se rapporte directement 
\`a l'\'ecliptique vrai, qui n'est donc qu'un interm\'ediaire de calcul. Pour 
cette raison, et pour simplifier les d\'eveloppements, les \'el\'ements vrais 
sont, par convention, rapport\'es \`a l'\'equateur vrai et \`a l'\'ecliptique 
moyen de la date ({\it cf}. 4.2.1).
De fa\c con classique, les effets de pr\'ecession et de nutation sont 
\'egalement consid\'er\'es s\'epar\'ement dans la matrice de transformation 
de coordonn\'ees faisant passer du rep\`ere c\'eleste de r\'ef\'erence au 
rep\`ere c\'eleste de la date $t$, en consid\'erant tout d'abord, une 
matrice de transformation pour les rotations correspondant \`a la 
pr\'ecession, suivie d'une matrice de transformation pour les 
rotations correspondant \`a la nutation.
\par
Le rep\`ere c\'eleste \'equatorial vrai de la date, centr\'e en O et 
d\'efini par le p\^ole c\'eleste vrai $\aindb{P}{v}$ 
et par l'\'equinoxe vrai 
$\vindb{\gamma}v$ de cette date, se d\'eduit du 
rep\`ere c\'eleste \'equatorial moyen d'une \'epoque de r\'ef\'erence, 
rapport\'e \`a $\aindb{P}{F}$ et 
$\vindb{\gamma}F$, r\'ealis\'e par exemple par un 
catalogue de coordonn\'ees d'\'etoiles \`a l'\'epoque de 
r\'ef\'erence, par un produit de 
trois rotations; celles-ci font intervenir l'ascension droite $E$ du p\^ole 
c\'eleste vrai de la date dans le rep\`ere c\'eleste de l'\'epoque
de r\'ef\'erence, la 
distance polaire $d=\aindb{P}{F}\aindb{P}{v}$ 
et le d\'eplacement $\vindb{\gamma}v {\rm J} - 
\vindb{\gamma}F {\rm J}$ 
de l'\'equinoxe en ascension droite, J \'etant le n\oe ud entre 
les deux \'equateurs (Fig. 5.5).
On effectue successivement les trois rotations \'el\'ementaires ({\it cf}. 4.5.1.2)
$R_3(90^\circ+E)$, $R_1(d)$, $R_3(-\vindb{\gamma}v {\rm J})$.   
\par
 Les trois quantit\'es $E$, $d$ et $\vindb{\gamma}v {\rm J}$ sont 
donc suffisantes pour
repr\'esenter le d\'eplacement  de l'\'equateur entre l'\'epoque de 
r\'ef\'erence et la date $t$ ; le d\'eplacement en d\'eclinaison $d$ ainsi que 
le d\'eplacement angulaire $E$ d\'ependent principalement de la 
pr\'ecession-nutation luni-solaire, mais \'egalement, au deuxi\`eme ordre, de 
la pr\'ecession plan\'etaire, tandis que le d\'eplacement en ascension droite 
de l'\'equinoxe vrai d\'epend de la pr\'ecession g\'en\'erale et de la 
nutation en ascension droite.
 
Notons que, si on ne tient compte que de la pr\'ecession,
$\vindb{\gamma}v$ est confondu avec
l'\'equinoxe moyen de la date $\vindb{\gamma}D$; $E$, $d$ et 
$\vindb{\gamma}v {\rm J}=\vindb{\gamma}D {\rm J}$ 
sont alors li\'es aux angles $\vindw{\zeta}A$,
 $\vindw{\theta}A$ et $\vindw{z}A$ repr\'esent\'es sur la
figure 5.6 par:
$$E=-\zeta{\indice{-1.0}{\!A}};\ d=\theta{\indice{-1.0}{\!A}};
\ \gamma{\indice{-1.0}{\!{\rm v}}} J=\gamma{\indice{-1.0}{\!{\rm D}}} {\rm J}
=90^\circ+z{\indice{-1.0}{\!A}}.$$ 
\par
De la m\^eme fa\c con, en ne tenant compte que de la pr\'ecession,
le rep\`ere \'ecliptique de la date d\'efini par le p\^ole de 
l'\'ecliptique moyen de la date $\aindb{Q}{\,D}$ 
et l'\'equinoxe $\vindb{\gamma}D$ se d\'eduit du 
rep\`ere \'ecliptique moyen d'une \'epoque de 
r\'ef\'erence, rapport\'e \`a $\aindb{Q}{\,F}$
 et $\gamma{\indice{-1.0}{\!{\rm F}}}$, en effectuant
les trois rotations $R_3(\Pi{\indice{-1.0}{\!A}})$,
 $R_1(\pi{\indice{-1.0}{\!A}})$ et $R_3(-\Pi{\indice{-1.0}{\!A}}
-{\cal P}{\indice{-1.0}{\!A}})$ 
oł $\Pi{\indice{-1.0}{\!A}}$ (arc $\gamma{\indice{-1.0}{\!{\rm F}}} {\rm N}$),
 $\pi{\indice{-1.0}{\!A}}$ (distance polaire $\aindb{Q}{\,F}\aindb{Q}{\,D}$)
 et  ${\cal P}{\indice{-1.0}{\!A}}$ (arc $\gamma{\indice{-1.0}{\!{\rm D}}} {\rm N}-
\gamma{\indice{-1.0}{\!{\rm F}}}{\rm N}$)
sont les angles repr\'esent\'es sur la
figure 5.6 et d\'efinis au paragraphe 5.5.2.   


\midinsert
\vglue1cm\noindent
\hglue-4cm 
%\centerline{
%        \epsfxsize=12cm
%        \epsffile{fig55jls180.eps}}
\centerline{\psfig{figure=fig55jlsfin180.eps,width=13cm}
}
\vglue-15mm
\noindent
{\bf Fig. 5.5.} Angles de rotation entre le rep\`ere c\'eleste \'equatorial 
de la date et le rep\`ere c\'eleste\hfill\break
\phantom{\bf Fig. 5.5.} \'equatorial moyen
d'une \'epoque de r\'ef\'erence.
\endinsert
\vglue5mm  
\par
Les six quantit\'es d\'ecrites ci-dessus ne sont pas ind\'ependantes; en toute 
rigueur, quatre d'entre elles,  les deux coordonn\'ees sph\'eriques polaires 
du p\^ole de l'\'equateur et du p\^ole de l'\'ecliptique, sont suffisantes pour 
repr\'esenter les d\'eplacements dus \`a la pr\'ecession et \`a la nutation.
\par
Dans la repr\'esentation classique, on utilise un nombre plus important
de param\`etres pour repr\'esenter les positions respectives de l'\'equateur 
et de l'\'ecliptique \`a des dates diff\'erentes, et l'on donne 
ind\'ependam\-ment les d\'eplacements de pr\'ecession et de nutation, 
les premiers permettant de calculer les coordonn\'ees moyennes, et 
les seconds, les coordonn\'ees vraies de la date, \`a partir 
des coordonn\'ees fournies par un catalogue. 
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Avec l'utilisation d'ordinateurs, il n'y a aucune difficult\'e \`a 
utiliser des formules rigoureuses de transformation des cosinus directeurs de 
la direction d'un objet c\'eleste dans un rep\`ere \'ecliptique ou 
\'equatorial; celles-ci utilisent un produit de matrices de rotation, 
dont les \'el\'ements sont obtenus \`a partir des d\'eveloppements 
complets des param\`etres de pr\'ecession et de nutation, soit 
\'equatoriaux, soit \'ecliptiques, en fonction du temps.