\vglue45mm \chap7 \gros \vbox{\hbox{CORRECTIONS POUR LA R\'EDUCTION} \hbox{DES OBSERVATIONS} \bigskip \hrule height 1pt depth 1pt} %en principe \vskip 2cm \vskip23mm\noindent \rm {\sectd{7.1. CORRECTIONS DE MOUVEMENT PROPRE, DE PARALLAXE ET\hfill\break \phantom{7.1.} D'ABERRATION POUR LES \'ETOILES}}% {\sectt{7.1.1. G\'en\'eralit\'es}}% %\vskip2mm\noindent Les catalogues donnent l'ascension droite $\alpha_0$ et la d\'eclinaison $\delta_0$ d'une \'etoile pour une \'epoque de r\'ef\'erence $t_F$ et dans un rep\`ere de r\'ef\'erence qui d\'ependent du catalogue. Nous supposerons que le rep\`ere de r\'ef\'erence du catalogue est centr\'e au barycentre du syst\`eme solaire et qu'il est, du point de vue relativiste, la mat\'erialisation d'un syst\`eme de r\'ef\'erence barycentrique BRS ({\it cf.} 4.1.1.2). Nous supposerons \'egalement le catalogue sans erreur.\par L'ascension droite et la d\'eclinaison de la direction de l'\'etoile vue par un observateur terrestre \`a la date $t$ diff\`erent de $\alpha_0$ et $\delta_0$ par suite de plusieurs effets que nous allons d\'ecrire. Nous ferons abstraction de la r\'efraction trait\'ee au paragraphe 7.3.\par \parq {\sectq{7.1.1.1. Mouvement propre}}% Les \'etoiles sont anim\'ees de {\it mouvements propres} en ascension droite, $\mu_{\alpha}$, et en d\'eclinaison, $\mu_{\delta}$, et \'eventuelle\-ment d'une {\it vitesse radiale} $V_0$ qui font varier leur position avec le temps. Les quantit\'es $\mu_{\alpha}$, $\mu_{\delta}$ et $V_0$ sont fournies par le catalogue ou, lorsqu'elles sont inconnues, suppos\'ees nulles. \eject %\parq {\sectq{7.1.1.2. Parallaxe}}% L'observateur O n'est pas plac\'e au barycentre du syst\`eme solaire B. La direction OE, o\`u E d\'esigne l'\'etoile, est donc diff\'erente de la direction BE donn\'ee par le catalogue. C'est l'effet de {\it parallaxe}. On distingue la {\it parallaxe annuelle} due \`a la diff\'erence entre les directions BE et TE, o\`u T d\'esigne le centre de gravit\'e terrestre, de la {\it parallaxe diurne} due \`a la diff\'erence entre les directions TE et OE. Pour une \'etoile, la parallaxe diurne est n\'egligeable.\par \midinsert %\vglue1cm\noindent %\hglue-4cm \hglue-1cm \centerline{ \epsfxsize=112mm \epsffile{fig7110397180.eps}} \vglue8mm \noindent \centerline{{\bf Fig. 7.1.1.} Effet de la parallaxe.} \endinsert \vglue5mm \par En premi\`ere approximation, T d\'ecrit autour de B un cercle situ\'e dans le plan de l'\'ecliptique avec une p\'eriode annuelle. Soit e$_0$ le point de la sph\`ere c\'eleste g\'eocentrique tel que Te$_0$ soit parall\`ele \`a BE, c'est-\`a-dire le point dont l'ascension droite et la d\'eclinaison g\'eocentriques sont celles fournies par le catalogue (Fig. 7.1.1). L'intersection e de TE et du plan tangent \`a la sph\`ere c\'eleste g\'eocentrique en e$_0$ d\'ecrit, avec une p\'eriode annuelle, une ellipse, dite {\it ellipse de parallaxe annuelle}, dont le centre est e$_0$ et dont le grand axe est parall\`ele au plan de l'\'ecliptique. Le demi-grand axe est vu de la Terre sous un angle $1/r$ radian, o\`u $r$ est la distance de l'\'etoile au barycentre du syst\`eme solaire en ua, et le demi-petit axe est vu sous un angle $\sin\beta /r$ radian, o\`u $\beta$ est la latitude \'ecliptique de l'\'etoile. L'angle $\pi_0$ tel que $\sin\pi_0=1/r$ est par d\'efinition la {\it parallaxe de l'\'etoile}. $\pi_0$ est toujours inf\'erieur \`a $1''$.\par \parq {\sectq{7.1.1.3. Aberration}}% La vitesse de la lumi\`ere est finie et l'observateur est en mouvement par rapport aux \'etoiles. L'ensemble de ces deux causes induit l'effet d'{\it aberration stellaire} ou {\it aberration des fixes}.\par \midinsert %\vglue1cm\noindent \hglue-8cm \centerline{ % \epsfxsize=112mm \epsffile{fig712180.eps}} \vglue6mm \noindent \centerline{{\bf Fig. 7.1.2. }Aberration stellaire. } \vglue1cm \endinsert L'observateur O re\c coit \`a l'instant $t$ la lumi\`ere \'emise par l'\'etoile E \`a l'instant $t-\Delta t$ o\`u $\Delta t$, appel\'e {\it temps de lumi\`ere}, est le temps mis par la lumi\`ere pour atteindre l'observateur. Les mouvements propres de l'\'etoile \'etant faibles, on peut n\'egliger les variations de $\Delta t$ avec la position de l'observateur par rapport au barycentre du syst\`eme solaire et avec le temps $t$, ce qui revient \`a consid\'erer que le temps de lumi\`ere est une constante pour une \'etoile donn\'ee. En m\'ecanique newtonienne, la vitesse, dans un rep\`ere fixe, des photons arrivant \`a l'observateur est le vecteur ${\bf c}$ de module $c$, vitesse de la lumi\`ere, port\'e par EO (Fig. 7.1.2). Leur vitesse dans un rep\`ere relatif de directions fixes centr\'e en O est $${\bf c_r}={\bf c}-{\bf v}$$ o\`u ${\bf v}$ est la vitesse de l'observateur dans le rep\`ere fixe. L'observateur voit l'\'etoile dans la direction OE$'$ oppos\'ee \`a ${\bf c_r}$ (Woolard et Clemence, 1966).\par On distingue l'{\it aberration annuelle} dans laquelle ${\bf v}$ est la vitesse barycentrique du centre de gravit\'e de la Terre, ${\bf v_T}$, et l'{\it aberration diurne}, effet r\'esiduel de la vitesse ${\bf v_O}$ de l'observateur par rapport au centre de gravit\'e de la Terre, l'ordre de grandeur de la seconde \'etant environ soixante fois plus petit que celui de la premi\`ere.\par Remarquons ici que les quantit\'es $\alpha_0$ et $\delta_0$ fournies par le catalogue ne donnent pas la direction barycentrique de la position r\'eelle de l'\'etoile \`a l'instant $t_F$ mais celle de sa position \`a l'instant $t_F-\Delta t$ (Kaplan et al., 1989). La position barycentrique de E \`a l'instant $t-\Delta t$ est donc la position fournie par le catalogue corrig\'ee des effets des mouvements propres et de la vitesse radiale entre $t_F$ et $t$. \par Supposons, comme en 7.1.1.2, le mouvement de la Terre autour du barycentre du syst\`eme solaire circulaire uniforme et n\'egligeons la parallaxe diurne, ce qui revient \`a supposer O en T. Sous l'effet de l'aberration annuelle, l'intersection e$'$ de la direction TE$'$ et du plan tangent \`a la sph\`ere c\'eleste g\'eocentrique en e$_0$ d\'ecrit, avec une p\'eriode annuelle, une ellipse, dite {\it ellipse d'aberration annuelle}, de centre e$_0$ et dont le grand axe est parall\`ele au plan de l'\'ecliptique (Danjon, 1953). L'ellipse d'aberration annuelle est donc semblable \`a l'ellipse de parallaxe annuelle, mais son demi-grand axe est vu de T sous un angle d'environ $20''\!.5$, ind\'ependant de la distance de l'\'etoile, et le vecteur $\bf{e_0e'}$ est perpendiculaire au vecteur $\bf{e_0e}$ et de module sup\'erieur (Fig. 7.1.3). Sous l'effet conjugu\'e de la parallaxe et de l'aberration annuelles, l'observateur voit l'\'etoile dans la direction du point e$''$ tel que: $$\bf{e_0e''}=\bf{e_0e}+ \bf{e_0e'}$$ \par \midinsert \vglue1cm\noindent \hglue-90mmm \centerline{ \epsfxsize=57mm \epsffile{fig7130397180.eps}} \vglue1cm \noindent \centerline{{\bf Fig. 7.1.3. } Ellipses de parallaxe et d'aberration annuelles.} \vglue5mm \endinsert \par En m\'ecanique relativiste, il y a lieu de tenir compte \'egalement de la courbure des rayons lumineux sous l'effet de la d\'eviation gravitationnelle et du passage du syst\`eme de r\'ef\'erence barycentrique du catalogue au syst\`eme de r\'ef\'erence g\'eocentrique ou topocentrique de l'observateur, selon que ce dernier est suppos\'e au centre de la Terre ou sur sa surface ({\it cf.} 4.1.1.2).\par\noindent \parq {\sectq{7.1.1.4. D\'eplacements du plan de r\'ef\'erence et de l'origine}}% Le plan de r\'ef\'erence et l'origine adopt\'es par l'observateur et le catalogue sont en g\'en\'eral diff\'erents. $\alpha_0$ et $\delta_0$ sont rapport\'es \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe moyens de la date de r\'ef\'erence du catalogue $t_F$; l'ascension droite et la d\'eclinaison observ\'ees sont le plus souvent rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe vrais de la date $t$ ({\it cf.} 4.2.1).\par Ceci entra\^\i ne des corrections suppl\'ementaires de pr\'ecession ({\it cf.} 4.5.4) et de nutation ({\it cf.} 4.5.7).\par\noindent %\parq \eject {\sectq{7.1.1.5. Historique}}% Au dix-septi\`eme si\`ecle et au d\'ebut du dix-huiti\`eme, la parallaxe stellaire appara\^\i t comme une cons\'equence de l'hypoth\`ese de Copernic que les astronomes s'efforcent en vain d'observer. C'est en poursuivant ce but que Picard, en 1671, d\'ec\`ele un mouvement apparent de l'\'etoile polaire dont la p\'eriode est annuelle et dont l'amplitude totale atteint $40''$ mais qui ne suit pas le mouvement pr\'evu par l'effet de parallaxe. Il s'agit, en fait, de la premi\`ere observation de l'aberration stellaire.\par En 1676, Roemer d\'ecouvre la vitesse finie de la lumi\`ere en observant des \'eclipses des satellites de Jupiter. Le ph\'enom\`ene sur lequel repose cette d\'ecouverte est l'aberration plan\'etaire ({\it cf.} 7.2.1), mais aucun lien n'est fait avec la constatation de Picard. La raison en est que l'on consid\`ere, \`a cette \'epoque, la vitesse de la Terre comme n\'egligeable devant la vitesse de la lumi\`ere (Hoskin, 1978).\par Il faut attendre 1728 pour que Bradley, qui tentait d'observer la parallaxe de l'\'etoile $\gamma$ Draconis et avait constat\'e, comme Picard, un mouvement apparent annuel d'amplitude totale $40''$ en quadrature avec le mouvement pr\'evu par l'effet de parallaxe, explique ce ph\'enom\`ene par l'effet conjoint de la vitesse de la lumi\`ere et de celle de la Terre, et d\'ecouvre ainsi l'aberration stellaire.\par Bradley ne r\'eussit pas \`a observer le d\'eplacement apparent des \'etoiles sous l'effet de la parallaxe et d\'eduisit de cet \'echec que les \'etoiles sont distantes de la Terre de plus de $400\,000$ ua (d'apr\`es Danjon, il faut en r\'ealit\'e r\'eduire cette valeur de moiti\'e). C'est en 1838 que Bessel puis Struve mesurent les premi\`eres parallaxes d'\'etoiles (61 du Cygne et V\'ega) par l'observation de l'effet de parallaxe.\par L'existence d'un mouvement propre pour les \'etoiles a \'et\'e constat\'ee par Halley en 1718 mais la premi\`ere liste de mouvements propres n'est publi\'ee par Mayer qu'en 1775.\par En 1868, Huggins est le premier \`a d\'eceler une vitesse radiale pour l'\'etoile Sirius. \par \part {\sectt{7.1.2. Corrections de mouvement propre}}% Les mouvements propres en ascension droite et en d\'eclinaison $\mu_{\alpha}$ et $\mu_{\delta}$ d'une \'etoile, fournis par le catalogue, sont respectivement les d\'eriv\'ees par rapport au temps de l'ascension droite et de la d\'eclinaison de l'\'etoile rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe moyens de la date de r\'ef\'erence $t_F$ du catalogue. Nous supposerons $\mu_{\alpha}$ et $\mu_{\delta}$ exprim\'es en radian/si\`ecle.\par La vitesse radiale de l'\'etoile, $V_0$, fournie par le catalogue est la d\'eriv\'ee par rapport au temps de la distance $r={\rm BE}$. Nous la supposerons exprim\'ee en ua/si\`ecle.\par L'ascension droite et la d\'eclinaison barycentriques de l'\'etoile \`a l'instant $t-\Delta t$ rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe moyens de la date $t_F$ (rep\`ere du catalogue), $\alpha$ et $\delta$, sont donc: $$\eqalign{\alpha&=\alpha_0+\mu_{\alpha}(t-t_F),\cr \delta&=\delta_0+\mu_{\delta}(t-t_F),\cr}$$ o\`u $t-t_F$ est exprim\'e en si\`ecle julien.\par Il est utile pour les corrections ult\'erieures de conna\^\i tre le vecteur position barycentrique de l'\'etoile \`a l'instant $t-\Delta t$. D\'esignons par ${\bf p_0}$ le vecteur unitaire de la direction BE($t_F-\Delta t$) et par ${\bf p_1}$ le vecteur unitaire de la direction BE($t-\Delta t$). La matrice colonne des composantes de ${\bf p_0}$ dans le rep\`ere du catalogue est: $$\pmatrix{p^0_X\cr p^0_Y\cr p^0_Z\cr}=\pmatrix{\cos\alpha_0\cos\delta_0\cr \sin\alpha_0\cos\delta_0\cr \sin\delta_0\cr}.$$ La matrice colonne des composantes de ${\bf p_1}$ dans le rep\`ere du catalogue est: $$\pmatrix{p^1_X\cr p^1_Y\cr p^1_Z\cr}=\pmatrix{\cos\alpha\cos\delta\cr \sin\alpha\cos\delta\cr \sin\delta\cr}.$$ Le vecteur position barycentrique de l'\'etoile \`a l'instant $t_F-\Delta t$ est: $${\bf BE}(t_F-\Delta t)=r{\bf p_0}$$ avec, en unit\'es astronomiques: $$r={1\over\sin\pi_0}\cdot$$ \`A l'instant $t-\Delta t$, il est: $${\bf BE}(t-\Delta t)=\rho{\bf p_1}$$ o\`u $1/\rho$ est le sinus de la parallaxe \`a l'instant $t-\Delta t$, $\rho$ \'etant exprim\'e en ua. En posant: $${\bf P_1}={{\bf BE}(t-\Delta t)\over r}= {\rho\over r}{\bf p_1},$$ on obtient: $${\bf P_1}={\bf p_0}+{\hbox{d}{\bf p_0}\over \hbox{d}t}(t-t_F)+\sin\pi_0V_0(t-t_F) {\bf p_0}. \eqno (7.1.1)$$ Les composantes $P_X^1$, $P_Y^1$, $P_Z^1$ du vecteur ${\bf P_1}$ dans le rep\`ere du catalogue sont donn\'ees par la relation matricielle: $$\pmatrix{P_X^1\cr P_Y^1\cr P_Z^1\cr}=\pmatrix{p_X^0\cr p_Y^0\cr p_Z^0\cr}+\pmatrix{-\mu_\alpha\sin\alpha_0\cos\delta_0 -\mu_\delta\cos\alpha_0\sin\delta_0\cr \mu_\alpha\cos\alpha_0\cos\delta_0-\mu_\delta\sin\alpha_0\sin\delta_0\cr \mu_\delta\cos\delta_0\cr}(t-t_F)+\sin\pi_0 V_0(t-t_F)\pmatrix{p_X^0\cr p_Y^0\cr p_Z^0\cr}. \eqno (7.1.2)$$ \vskip2mm\noindent Dans cette formule, si $\mu_{\alpha}$ et $\mu_{\delta}$ sont en radian/si\`ecle, $V_0$ est en ua/si\`ecle et $t-t_F$ en si\`ecle julien. ${\bf P_1}$ \'etant calcul\'e, on obtient ${\bf p_1}$ et $1/\rho$ par: $$\eqalignno{&{\bf p_1}={{\bf P_1}\over \mid {\bf P_1}\mid}\cvirg\cr &\hbox to 5cm{\quad}& (7.1.3)\cr &{1\over\rho}={\sin\pi_0\over \mid{\bf P_1}\mid }\cdotp\cr}$$ Lorsque la parallaxe de l'\'etoile est inconnue, on suppose $\pi_0$ nul dans les formules (7.1.1) et (7.1.2); $1/\rho$ est alors nul. Lorsque la vitesse radiale $V_0$ est inconnue, on suppose $\sin\pi_0V_0$ nul; la parallaxe \`a l'instant $t-\Delta t$, $1/\rho$, est alors \'egale \`a la parallaxe du catalogue, $\sin\pi_0$, \`a la pr\'ecision de la formule (7.1.2). %\part \eject {\sectt{7.1.3. Formulaire classique pour le calcul des corrections de parallaxe et d'aberration\hfill\break \phantom{7.1.3.} stellaires}}% {\sectq{7.1.3.1. Corrections de parallaxe annuelle}}% Le vecteur $\bf{TE}$ joignant la position de la Terre \`a l'instant $t$ \`a la position de l'\'etoile \`a l'instant $t-\Delta t$ est, le barycentre du syst\`eme solaire \'etant suppos\'e fixe: $${\bf TE}= {\bf BE}(t-\Delta t)-{\bf BT}(t).$$ En posant: $${\bf x_T}(t)= {\bf BT}(t)$$ on obtient, avec les notations du paragraphe 7.1.2: $${\bf TE}=\rho{\bf p_1}-{\bf x_T}(t),$$ et le vecteur unitaire ${\bf p}$ de la direction ${\rm TE}$, c'est-\`a-dire de la direction de l'\'etoile affect\'ee de la parallaxe annuelle, est donn\'e par: $${\bf p}={{\bf p_1}-{{\bf x_T}(t) \over\rho}\over \mid {\bf p_1}-{{\bf x_T}(t) \over\rho}\mid}\cdotp$$ Dans cette formule ${\bf x_T}(t)$ est le vecteur position barycentrique de la Terre, \`a l'instant d'observation $t$, dont les composantes sont exprim\'ees en ua; ${\bf p_1}$ et $1/\rho$ sont respectivement le vecteur unitaire de la direction barycentrique et la parallaxe de l'\'etoile \`a l'instant $t-\Delta t$, donn\'es par les formules (7.1.3) et (7.1.2).\par \`A des termes d'ordre deux en $\sin\pi_0$ pr\`es, ${\bf p}$ s'\'ecrit \'egalement: $${\bf p}=\Bigl(1+{{\bf p_1}\cdot{\bf x_T}(t)\over \rho}\Bigr){\bf p_1} -{{\bf x_T}(t)\over\rho}\cdotp\eqno (7.1.4)$$\par Si $\alpha_G$ et $\delta_G$ d\'esignent l'ascension droite et la d\'eclinaison de la direction TE dans le rep\`ere du catalogue, la formule (7.1.4) s'\'ecrit de fa\c con matricielle: $$\pmatrix{\cos\alpha_G\cos\delta_G\cr \sin\alpha_G\cos\delta_G\cr \sin\delta_G\cr}= \Bigl(1+{1\over \rho}{\bf p_1}\cdot{\bf x_T}(t)\Bigr) \pmatrix{\cos\alpha\cos\delta\cr \sin\alpha\cos\delta\cr \sin\delta\cr} -{1\over\rho}\pmatrix{X\cr Y\cr Z\cr}\eqno (7.1.5)$$ avec $${\bf p_1}\cdot{\bf x_T}(t)= X\cos\alpha\cos\delta+Y\sin\alpha\cos\delta+Z\sin\delta.$$ Dans ces formules $\alpha$ et $\delta$ sont l'ascension droite et la d\'eclinaison barycentriques de l'\'etoile \`a l'instant $t-\Delta t$ dans le rep\`ere du catalogue, c'est-\`a-dire les quantit\'es obtenues en corrigeant l'ascension droite et la d\'eclinaison du catalogue, $\alpha_0$ et $\delta_0$, des mouvements propres entre $t_F$ et $t$; $X$, $Y$, $Z$ sont les coordonn\'ees barycentriques, en ua, du centre de la Terre, \`a l'instant $t$, rapport\'ees \`a l'\'equateur et \`a l'\'equinoxe moyens de la date $t_F$ (rep\`ere du catalogue). Si on n\'eglige la vitesse radiale de l'\'etoile, $1/\rho$ est le sinus de la parallaxe de l'\'etoile fournie par le catalogue.\par La formule (7.1.5) donne, pour les \'etoiles suffisamment \'eloign\'ees du p\^ole, les formules approch\'ees sui\-vantes: $$\eqalign{\alpha_G&=\alpha+{1\over\rho\cos\delta}(X\sin\alpha-Y\cos\alpha),\cr \delta_G&=\delta+{1\over\rho}(X\cos\alpha\sin\delta+Y\sin\alpha\sin\delta- Z\cos\delta).\cr}$$\par Lorsque la date de r\'ef\'erence du catalogue est J2000, $X$, $Y$, $Z$, composantes du vecteur ${\bf x_T}(t)$ dans le rep\`ere du catalogue, se calculent au moyen des coordonn\'ees rectangulaires \'equatoriales g\'eocentriques du Soleil $X_S$, $Y_S$, $Z_S$ et des longitudes $\lambda_i$, latitudes $\beta_i$, rayons vecteurs $r_i$ h\'eliocentriques \'ecliptiques des plan\`etes autres que la Terre, \`a l'instant $t$, publi\'es dans la {\it Connaissance des Temps} au moyen de la relation: $$\pmatrix{X\cr Y\cr Z\cr}=-(1-{m_{TL}\over {m_B}})\pmatrix{X_S\cr Y_S\cr Z_S\cr} -\sum_{i\not=3}{m_i\over m_B}r_i\pmatrix{1&0&0\cr 0&\cos\varepsilon_0& -\sin\varepsilon_0\cr 0&\sin\varepsilon_0&\cos\varepsilon_0\cr} \pmatrix{\cos\lambda_i\cos\beta_i\cr \sin\lambda_i\cos\beta_i\cr \sin\beta_i\cr}\eqno (7.1.6)$$ o\`u $m_{TL}$ d\'esigne la masse du syst\`eme Terre-Lune, $m_B$ la somme des masses des plan\`etes et du Soleil, $m_i$ la masse de la plan\`ete $i$ ($i=1\dots 8$ de Mercure \`a Neptune) et $\varepsilon_0$ l'obliquit\'e de l'\'ecliptique en J2000. Pour un calcul approch\'e, on peut confondre $X$, $Y$, $Z$ avec $-X_S$, $-Y_S$, $-Z_S$, l'erreur n'exc\'edant pas un pour cent. \parq {\sectq{7.1.3.2. Corrections globales d'aberration annuelle}}% L'observateur voit, \`a l'instant $t$, l'\'etoile dans la direction oppos\'ee au vecteur ${\bf c_r}$ (Fig. 7.1.2). En n\'egligeant la parallaxe diurne, c'est-\`a-dire en supposant O en T, on a, avec les notations du paragraphe 7.1.3.1: $${\bf c}=-c{\bf p}.$$ L'observateur voit donc l'\'etoile dans la direction ${\bf p}+{\bf v}/c$ o\`u ${\bf v}$ est la vitesse barycentrique de l'observateur. Le vecteur unitaire ${\bf \hat p}$ de la direction de l'\'etoile affect\'ee de l'aberration annuelle (direction vue par un observateur plac\'e au centre de la Terre) est donc: $${\bf \hat p}={{\bf p}+{{\bf v_T}\over c}\over \mid{\bf p}+{{\bf v_T}\over c}\mid}$$ o\`u ${\bf v_T}$ est la vitesse barycentrique de la Terre \`a l'instant $t$: $${\bf v_T}={\hbox{d}\over \hbox{d}t}{\bf x_T}.$$ \`A des termes d'ordre deux en $\mid{\bf v_T\mid/c}$ pr\`es, ${\bf \hat p}$ s'\'ecrit \'egalement: $${\bf \hat p}=(1-{1\over c}{\bf p}\cdot{\bf v_T}){\bf p}+{1\over c}{\bf v_T}. \eqno (7.1.7)$$ Si $\alpha_a$ et $\delta_a$ d\'esignent l'ascension droite et la d\'eclinaison {\it apparentes} de l'\'etoile, c'est-\`a-dire les coordonn\'ees de la direction de l'\'etoile vue par un observateur plac\'e au centre de la Terre, rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe vrais de la date, la formule pr\'ec\'edente s'\'ecrit sous forme matricielle: $$\pmatrix{\cos\alpha_a\cos\delta_a\cr \sin\alpha_a\cos\delta_a\cr \sin\delta_a\cr}=(1-\tau_A{\bf p}\cdot{\bf v_T}) NP\pmatrix{\cos\alpha_G\cos\delta_G\cr \sin\alpha_G\cos\delta_G\cr \sin\delta_G\cr}+ \tau_A NP\pmatrix{X'\cr Y'\cr Z'\cr} \eqno (7.1.8)$$ avec, $${\bf p}\cdot{\bf v_T}=X'\cos\alpha_G\cos\delta_G+Y'\sin\alpha_G\cos\delta_G+ Z'\sin\delta_G,$$ o\`u $\alpha_G$ et $\delta_G$ sont l'ascension droite et la d\'eclinaison de la direction TE rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe moyens de la date $t_F$ et donn\'ees par (7.1.5), $X'$, $Y'$ et $Z'$ les composantes de la vitesse barycentrique de la Terre dans le m\^eme rep\`ere, $\tau_A$ le temps de lumi\`ere pour l'unit\'e astronomique. Si $\tau_A$ est exprim\'e en jour, $X'$, $Y'$, $Z'$ sont en ua/jour. $N$ est la matrice de nutation pour la date $t$ et $P$ la matrice de pr\'ecession \'equatoriale entre les dates $t_F$ et $t$. On a donc, avec les notations des paragraphes 4.5.4 et 4.5.7: $$P=R_3(-90^{\circ}-z_A)R_1(\theta_A)R_3(90^{\circ}-\zeta_A)$$ et: $$N=R_1(-\varepsilon'_A)R_3(-\Delta\psi)R_1(\varepsilon_A)$$ $z_A$, $\theta_A$ et $\zeta_A$ \'etant calcul\'es entre $t_F$ et $t$.\par La formule (7.1.8) donne, pour les \'etoiles suffisamment \'eloign\'ees du p\^ole, les formules approch\'ees sui\-vantes: $$\eqalignno{ \alpha_a&=\alpha_v-\tau_A(X'_v\sin\alpha_v-Y'_v\cos\alpha_v){1\over\cos\delta_v}\cr &\hbox to 5cm{\quad}&(7.1.9)\cr \delta_a&=\delta_v-\tau_A(X'_v\cos\alpha_v\sin\delta_v+ Y'_v\sin\alpha_v\sin\delta_v-Z'_v\cos\delta_v)\cr}$$ o\`u $\alpha_v$ et $\delta_v$ sont l'ascension droite et la d\'eclinaison de la direction TE rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe vrais (direction de l'\'etoile affect\'ee de la parallaxe annuelle), $X'_v$, $Y'_v$, $Z'_v$ les coordonn\'ees de la vitesse barycentrique de la Terre dans un rep\`ere fixe, ${\bf v_T}$, rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe vrais de la date. Si $\tau_A$ est exprim\'e en jour, $X'_v$, $Y'_v$, $Z'_v$ sont en ua/jour. $X'_v$, $Y'_v$, $Z'_v$ sont li\'es \`a $X'$, $Y'$, $Z'$ par la relation: $$\pmatrix{X'_v\cr Y'_v\cr Z'_v\cr}=NP \pmatrix{X'\cr Y'\cr Z'\cr}.$$\par On obtient, en d\'erivant la formule (7.1.6): $$\displaylines{\pmatrix{X'\cr Y'\cr Z'\cr}=-(1-{m_{TL}\over m_B}) \pmatrix{{\hbox{d}\over \hbox{d}t}X_S\cr {\hbox{d}\over \hbox{d}t}Y_S\cr {\hbox{d}\over \hbox{d}t}Z_S\cr} -\sum_{i\not=3}{m_i\over m_B}\pmatrix{1&0&0\cr 0&\cos\varepsilon_0& -\sin\varepsilon_0\cr 0&\sin\varepsilon_0& \cos\varepsilon_0\cr}\left[ r_i{\hbox{d}\lambda_i\over \hbox{d}t}\pmatrix{-\sin\lambda_i\cos\beta_i\cr \cos\lambda_i\cos\beta_i\cr 0\cr}\right.\hfill\cr \hfill +\,r_i{\hbox{d}\beta_i\over \hbox{d}t}\pmatrix{-\cos\lambda_i\sin\beta_i\cr -\sin\lambda_i\sin\beta_i\cr \cos\beta_i\cr} +{\hbox{d}r_i\over \hbox{d}t}\left.\pmatrix{\cos\lambda_i\cos\beta_i\cr \sin\lambda_i\cos\beta_i\cr \sin\beta_i\cr}\right].\cr}$$ Les quantit\'es $X_S$, $Y_S$, $Z_S$, $\lambda_i$, $\beta_i$, $r_i$ sont publi\'ees dans la {\cdt} sous forme de polyn\^omes de Tchebychev (\cf chapitre 9) et leurs d\'eriv\'ees par rapport au temps, pour la date $t$, peuvent \^etre calcul\'ees comme il est indiqu\'e au paragraphe 9.4.3. \parq {\sectq{7.1.3.3. Aberration elliptique}}% En n\'egligeant la vitesse du Soleil autour du barycentre du syst\`eme solaire et en assimilant le mouvement h\'eliocentrique de la Terre \`a un mouvement quasi-k\'epl\'erien dans l'\'ecliptique moyen de la date, les composantes de ${\bf v_T}$ rapport\'ees \`a l'\'equateur et \`a l'\'equinoxe moyens de la date s'\'ecrivent: $$\pmatrix{X'_m\cr Y'_m\cr Z'_m\cr}= {na\over\sqrt{1-e^2}}\pmatrix{-\sin V\cr \cos\varepsilon_A\cos V\cr \sin\varepsilon_A\cos V\cr}+{ena\over\sqrt{1-e^2}}\pmatrix{-\sin \varpi_T\cr \cos\varepsilon_A\cos \varpi_T\cr \sin\varepsilon_A\cos \varpi_T\cr}\eqno (7.1.10)$$ o\`u $a$, $e$, $\varpi_T$ sont les \'el\'ements moyens h\'eliocentriques de la Terre ({\it cf.} 8.1.5.4) rapport\'es \`a l'\'ecliptique et l'\'equinoxe moyens de la date, $V$ sa longitude vraie, $n$ son moyen mouvement moyen, $\varepsilon_A$ l'obliquit\'e moyenne de l'\'ecliptique \`a la date $t$. La quantit\'e: $$k_A={na\over c\sqrt{1-e^2}}$$ est la constante de l'aberration pour la date $t$.\par Dans la formule (7.1.10), ${\bf v_T}$ appara\^\i t comme la somme d'un vecteur \`a variation rapide et d'un vecteur lentement variable, $c{\bf A}$. Les composantes de ${\bf A}$ rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe moyens de la date sont: $$\pmatrix{A_{X,m}\cr A_{Y,m}\cr A_{Z,m}\cr}= ek_A\pmatrix{-\sin \varpi_T\cr \cos\varepsilon_A\cos \varpi_T\cr \sin\varepsilon_A\cos \varpi_T\cr}.$$ La contribution du vecteur ${\bf A}$ \`a ${\bf \hat p}$: $$\Delta {\bf p}=-({\bf p}\cdot{\bf A}){\bf p}+{\bf A}$$ constitue l'{\it aberration elliptique}. Dans les catalogues ant\'erieurs \`a 1984, on avait coutume d'inclure dans les positions des \'etoiles l'aberration elliptique calcul\'ee pour la date $t_F$ du catalogue.\par \parq {\sectq{7.1.3.4. Formules de Bessel}}% En n\'egligeant la composante du vecteur ${\bf v_T}$ perpendiculaire \`a l'\'ecliptique moyen de la date, on a, avec les notations du paragraphe 7.1.3.2: $${Y'_v\over \cos\varepsilon'_A}={Z'_v\over \sin\varepsilon'_A}$$ o\`u $\varepsilon'_A$ est l'obliquit\'e vraie $\varepsilon_A+\Delta\varepsilon$ \`a l'instant $t$. Les formules (7.1.9) s'\'ecrivent: $$\eqalign{\alpha_a&=\alpha_v+(D'\sin\alpha_v+C'\cos\alpha_v){1\over\cos\delta_v}\cr \delta_a&=\delta_v+D'\cos\alpha_v\sin\delta_v+C'(-\sin\alpha_v\sin\delta_v +\cos\delta_v\tan\varepsilon'_A)\cr}\eqno(7.1.11)$$ avec, $$\eqalign{C'&=\tau_AY'_v\cr D'&=-\tau_AX'_v.\cr}$$ Elles correspondent aux corrections d'aberration, pour les \'etoiles, \`a utiliser avec le catalogue FK5 et les autres catalogues post\'erieurs \`a 1984.\par Les contributions du vecteur ${\bf A}$ \`a $C'$ et $D'$ sont respectivement, en n\'egligeant les corrections de nutation sur les coordonn\'ees de ${\bf A}$: $$\eqalign{{\rm c}&=ek_A\cos\varepsilon_A\cos\varpi_T,\cr {\rm d}&=ek_A\sin\varpi_T.\cr}$$\par La {\it Connaissance des Temps} publie s\'epar\'ement les quantit\'es c et d, qui varient lentement, et les quantit\'es $C$ et $D$ telles que: $$\eqalign{C&=C'-{\rm c},\cr D&=D'-{\rm d}.\cr}$$\par Pour les catalogues ant\'erieurs \`a 1984, par exemple le FK4, il faut retrancher des corrections compl\`etes d'aberration annuelle donn\'ees par (7.1.8), (7.1.9) ou (7.1.11) l'effet, pour la date $t_F$, de l'aberration elliptique d\'ej\`a inclus dans le catalogue. En n\'egligeant les variations de ${\bf A}$, c'est-\`a-dire de c et d, ceci revient \`a remplacer, dans les formules (7.1.11), $C'$ par $C$ et $D'$ par $D$. Les formules ainsi obtenues portent le nom de {\it formules de Bessel}. \parq %\eject {\sectq{7.1.3.5. Corrections d'aberration diurne}}% Soit ${\bf \tilde p}$ le vecteur unitaire donnant la direction de l'astre vu par un observateur plac\'e sur la surface terrestre. On aura de m\^eme: $${\bf \tilde p}=(1- {1\over c}{\bf \hat p}\cdot{\bf v_O}){\bf \hat p}+{1\over c}{\bf v_O},\eqno (7.1.12)$$ o\`u ${\bf v_O}$ est la vitesse g\'eocentrique de l'observateur dans un rep\`ere de directions fixes. Les composantes de ${\bf v_O}$, rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe vrais de la date, sont, en n\'egligeant le mouvement du p\^ole: $$\eqalignno{\xi'_v&=-\omega a_T\rho_O\cos\phi'\sin(\theta-L),\cr \eta'_v&=\omega a_T\rho_O\cos\phi'\cos(\theta-L),&(7.1.13)\cr \zeta'_v&=0,\cr}$$ o\`u $\theta$ est le temps sid\'eral vrai de Greenwich GST, $a_T$ le rayon \'equatorial terrestre, $\omega$ la vitesse de rotation de la Terre, $L$ et $\phi'$ la longitude et la latitude g\'eocentriques de l'observateur ({\it cf.} 10.2) rapport\'ees \`a l'\'equateur terrestre et au m\'eridien origine, $a_T\rho_O$ la distance g\'eocentrique de l'observateur. $L$ est compt\'e positivement vers l'ouest. Si $a_T$ est exprim\'e en m\`etres et $\omega$ en radian/seconde, $\xi'_v$, $\eta'_v$, $\zeta'_v$ sont en m\`etres/seconde. \par Si $\alpha_{at}$ et $\delta_{at}$ d\'esignent l'ascension droite et la d\'eclinaison apparentes topocentriques de l'\'etoile, c'est-\`a-dire les coordonn\'ees de ${\bf \hat p}$ rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe vrais de la date, la formule (7.1.12) s'\'ecrit sous forme matricielle: $$\pmatrix{\cos\alpha_{at}\cos\delta_{at}\cr \sin\alpha_{at}\cos\delta_{at}\cr \sin\delta_{at}\cr}= \Bigl(1-{1\over c}{\bf \hat p}\cdot{\bf v_O}\Bigr) \pmatrix{\cos\alpha_{a}\cos\delta_{a}\cr \sin\alpha_{a}\cos\delta_{a}\cr \sin\delta_{a}\cr} +{\omega a_T\rho_O\cos\phi'\over c}\pmatrix{-\sin(\theta-L)\cr \cos(\theta-L)\cr 0\cr}\eqno (7.1.14)$$ avec, $$-{1\over c}{\bf \hat p}\cdot{\bf v_O}={\omega a_T\over c}\rho_O\cos\phi'\cos\delta_a \sin(\theta-L-\alpha_a),$$ $\theta-L-\alpha_a$ est l'angle horaire apparent $H_a$ de l'\'etoile pour le lieu consid\'er\'e. Avec les unit\'es propos\'ees pour les formules (7.1.13), $c$, vitesse de la lumi\`ere, est en m\`etres/seconde.\par Pour les \'etoiles suffisamment \'eloign\'ees du p\^ole, on obtient: $$\eqalign{\alpha_{at}&=\alpha_a+{\omega a_T\over c}\rho_O\cos\phi' \cos(\theta-L-\alpha_a){1\over\cos\delta_a}\cr \delta_{at}&=\delta_a+{\omega a_T\over c}\rho_O \cos\phi'\sin(\theta-L-\alpha_a)\sin\delta_a\,.\cr}$$ \part %\eject {\sectt{7.1.4. Formulaire relativiste pour le calcul des corrections de parallaxe et d'aberration\hfill\break \phantom{7.1.4.} stellaires}}% \vglue-1mm\noindent Dans ce paragraphe, nous nous pla\c cons dans le cadre de la relativit\'e g\'en\'erale en nous limitant aux termes du second ordre en $1/c$. Nous appelons ``vecteur" un \'el\'ement d'un espace \`a trois dimensions dont les composantes sont les coordonn\'ees spatiales de l'espace relativiste \`a quatre dimensions. \vskip4mm\noindent {\sectq{7.1.4.1. D\'eviation gravitationnelle des rayons lumineux}}% \vglue-2mm\noindent En m\'ecanique newtonienne, un observateur fixe par rapport au rep\`ere du catalogue verrait, \`a l'instant $t$, une \'etoile dans la direction du vecteur unitaire ${\bf p}$ donn\'e par (7.1.4). Cette direction est affect\'ee des mouvements propres et de la vitesse radiale de l'\'etoile entre la date de r\'ef\'erence $t_F$ du catalogue et $t$, et de la parallaxe annuelle.\par Pla\c cons nous, en m\'ecanique relativiste, dans le BRS du catalogue, c'est-\`a-dire dans le syst\`eme de r\'ef\'erence barycentrique dont le rep\`ere de r\'ef\'erence du catalogue est la mat\'erialisation. Le m\^eme observateur verrait l'\'etoile dans la direction dont le vecteur unitaire, dans le BRS, est donn\'e, en ne tenant compte que de la d\'eviation gravitationnelle par le Soleil, par: $${\bf p}=\Bigl(1+{{\bf x_O}(t)\cdot {\bf p_1}\over \rho}\Bigr){\bf p_1}-{{\bf x_O}(t)\over\rho} -{2\over c^2}{Gm_S\over \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid}\,{\bigl({\bf p_1}\cdot {\bf r_{SO}}(t)\bigr){\bf p_1}-{\bf r_{SO}}(t) \over \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid+{\bf p_1}\cdot {\bf r_{SO}}(t)}\eqno (7.1.15)$$ avec, $${\bf r_{SO}}(t)={\bf x_O}(t)-{\bf x_S}(t).$$ Dans ces formules ${\bf x_O}(t)$ et ${\bf x_S}(t)$ sont les vecteurs position de l'observateur et du Soleil \`a l'instant $t$ dans le BRS; $t$ est le temps coordonn\'ee dans l'\'echelle TDB ou TCB ({\it cf.} 3.8). ${\bf p_1}$ et ${1/\rho}$ sont calcul\'es par la formule (7.1.3) \`a partir des donn\'ees du catalogue. $Gm_S$ est la constante h\'eliocentrique de la gravitation, \'egale au carr\'e de la constante de Gauss si $\mid {\bf r_{SO}}(t)\mid$ est en ua et $c$ en ua/jour.\par La formule (7.1.15) est issue des expressions donn\'ees par Brumberg (1991), en n\'egligeant les termes d'ordre deux en $\mid {\bf x_0}(t)\mid/\rho$ et $\mid {\bf r_{SO}}(t)\mid/ \rho$ dans la partie ind\'ependante de $c$ et d'ordre un dans le coefficient de $1/c^2$. La partie en $1/c^2$ repr\'esente la d\'eviation gravitationnelle des rayons lumineux par le Soleil. \par On d\'eduit de (7.1.15) l'expression matricielle suivante pour les composantes de ${\bf p}$ rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'equinoxe moyens de la date de r\'ef\'erence $t_F$ du catalogue: $$\displaylines{\pmatrix{p_X\cr p_Y\cr p_Z\cr}=\Bigl[1+{{\bf x_O}(t)\cdot {\bf p_1}\over \rho} -{2\over c^2}{Gm_S\over \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid}\,{{\bf r_{SO}}(t)\cdot {\bf p_1}\over \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid+{\bf r_{SO}}(t)\cdot{\bf p_1}}\Bigr]\pmatrix{p^1_X\cr p^1_Y\cr p^1_Z\cr} -{1\over \rho}\pmatrix{X\cr Y\cr Z\cr}\hfill\cr \hfill +{2\over c^2}{Gm_S\over \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid}\,{1\over \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid+{\bf r_{SO}}(t)\cdot{\bf p_1}} \pmatrix{X-X_S\cr Y-Y_S\cr Z-Z_S\cr}\qquad(7.1.16)\cr}$$ avec, $$\eqalign{{\bf x_0}(t)\cdot {\bf p_1}&=Xp^1_X+Yp^1_Y+Zp^1_Z\cr {\bf r_{SO}}(t)\cdot{\bf p_1} &=(X-X_S)p^1_X+(Y-Y_S)p^1_Y+(Z-Z_S)p^1_Z\cr \mid {\bf r_{SO}}(t)\mid &=\sqrt{(X-X_S)^2+(Y-Y_S)^2+(Z-Z_S)^2}\cr}$$ o\`u $X$, $Y$, $Z$ et $X_S$, $Y_S$, $Z_S$ sont, respectivement, les coordonn\'ees spatiales barycentriques \`a l'instant $t$ de l'observateur et du Soleil dans le BRS, rapport\'ees \`a l'\'equateur et l'\'ecliptique moyens de la date de r\'ef\'erence du catalogue.\par Les formules (7.1.15) et (7.1.16) sont les extensions relativistes des formules (7.1.4) et (7.1.5) en tenant compte en plus de la parallaxe diurne. \vskip4mm\noindent {\sectq{7.1.4.2. Coordonn\'ees apparentes d'une \'etoile}}% %\vglue-2mm Un observateur fixe dans le syst\`eme de r\'ef\'erence g\'eocentrique (KGRS) associ\'e au syst\`eme de r\'ef\'erence barycentrique du catalogue, ce qui est le cas pour un observateur plac\'e au centre de la Terre, voit, \`a l'instant $t$, l'\'etoile dans la direction dont le vecteur unitaire ${\bf \hat p}$, dans le KGRS, est donn\'e par: $${\bf \hat p}=(1-{1\over c}{\bf p}\cdot{\bf v_T}){\bf p}+{1\over c}{\bf v_T} +{1\over c^2}\Bigl[({\bf p}\cdot{\bf v_T})^2{\bf p}-{1\over 2}({\bf v_T})^2 {\bf p}-{1\over 2}({\bf p}\cdot{\bf v_T}){\bf v_T} \Bigr].\eqno (7.1.17)$$ Dans cette formule, ${\bf v_T}$ est la vitesse barycentrique de la Terre \`a l'instant $t$ dans le BRS; ${\bf p}$, donn\'e par la formule (7.1.15), est le vecteur unitaire de la direction dans laquelle l'observateur verrait l'\'etoile s'il \'etait fixe dans le BRS et contient l'effet de la d\'eviation gravitationnelle des rayons lumineux. La formule (7.1.17) est issue des expressions donn\'ees par Brumberg (1991), dans lesquelles on a omis les termes d\'ependant de l'acc\'el\'eration barycentrique de la Terre. Ces termes s'annulent lorsque l'observateur est au centre de la Terre et sont n\'egligeables lorsqu'il est sur la surface terrestre.\par Les coordonn\'ees apparentes de l'\'etoile, $\alpha_a$ et $\delta_a$, d\'efinies au paragraphe 7.1.3.2 sont li\'ees aux composantes $\hat p_{X,v}$, $\hat p_{Y,v}$, $\hat p_{Z,v}$ de ${\bf \hat p}$, rapport\'ees \`a l'\'equateur et \`a l'\'equinoxe vrais de la date, par les relations classiques: $$\pmatrix{\hat p_{X,v}\cr \hat p_{Y,v}\cr \hat p_{Z,v}\cr}=\pmatrix{\cos\alpha_a \cos\delta_a\cr \sin\alpha_a\cos\delta_a\cr \sin\delta_a\cr}.\eqno (7.1.18)$$ La constante de la pr\'ecession incluant la pr\'ecession g\'eod\'esique ${\cal P}_g$ ({\it cf. }5.5.1), la matrice de pr\'ecession-nutation entre la date $t_F$ et la date $t$, dans le KGRS, est, en premi\`ere approximation, \'egale au produit $NP$ o\`u $N$ est la matrice de nutation pour la date $t$ et $P$ la matrice de pr\'ecession entre la date $t_F$ et la date $t$ ({\it cf. }7.1.3.2). On a donc, d'apr\`es (7.1.17): $$\pmatrix{\hat p_{X,v}\cr \hat p_{Y,v}\cr \hat p_{Z,v}\cr}= \Bigl[1-{1\over c}{\bf p}\cdot{\bf v_T}+{1\over c^2}({\bf p}\cdot{\bf v_T})^2 -{1\over 2 c^2}({\bf v_T})^2\Bigr]NP\pmatrix{p_X\cr p_Y\cr p_Z\cr} +\Bigl[{1\over c}-{1\over 2c^2}{\bf p}\cdot{\bf v_T}\Bigr] NP\pmatrix{X'\cr Y'\cr Z'\cr} \eqno (7.1.19)$$ o\`u $X'$, $Y'$, $Z'$ sont les composantes de la vitesse barycentrique de la Terre \`a l'instant $t$ rapport\'ees \`a l'\'equateur et \`a l'\'equinoxe moyens de la date de r\'ef\'erence $t_F$ du catalogue; $c$ est la vitesse de la lumi\`ere; $p_X$, $p_Y$, $p_Z$ sont donn\'es par la formule (7.1.15) et ${\bf p}\cdot{\bf v_T}$ est donn\'e par: $${\bf p}\cdot{\bf v_T}=p_XX'+p_YY'+p_ZZ'.$$ $X'$, $Y'$, $Z'$ et $c$ sont exprim\'es dans la m\^eme unit\'e, par exemple en ua/jour. \par Les formules (7.1.17) et (7.1.19) sont les extensions relativistes des formules (7.1.7) et (7.1.8).\par \vskip4mm\noindent {\sectq{7.1.4.3. Coordonn\'ees apparentes topocentriques d'une \'etoile}}% \vglue-1mm\noindent De la m\^eme fa\c con, le vecteur unitaire ${\bf \tilde p}$, dans le syst\`eme de r\'ef\'erence topocentrique (TRS) centr\'e sur l'observateur plac\'e sur la surface terrestre, de la direction de l'astre vue, \`a l'instant $t$, par l'observateur est donn\'e par: $${\bf \tilde p}=(1-{1\over c}{\bf\hat p}\cdot {\bf v_O}){\bf\hat p}+ {1\over c}{\bf v_O} +{1\over c^2}\Bigl[({\bf\hat p}\cdot{\bf v_O})^2{\bf \hat p}-{1\over 2} ({\bf \hat p}\cdot {\bf v_O}){\bf v_O} -{1\over 2} ({\bf v_O})^2{\bf \hat p} \Bigr],\eqno (7.1.20)$$ o\`u ${\bf v_O}$ est la vitesse g\'eocentrique de l'observateur \`a l'instant $t$, dans le GRS, et o\`u ${\bf \hat p}$ est donn\'e par (7.1.17). Nous avons n\'eglig\'e dans cette formule l'effet de la pr\'ecession -- nutation topocentrique.\par Dans les limites de l'approximation annonc\'ee au d\'ebut du paragraphe 7.1.4, les coordonn\'ees apparentes topocentriques, $\alpha_{at}$ et $\delta_{at}$, de l'\'etoile d\'efinies au paragraphe 7.1.3.5 sont donn\'ees par: $$\eqalignno{ {\pmatrix{\cos\alpha_{at} \cos\delta_{at}\cr \sin\alpha_{at}\cos\delta_{at}\cr \sin\delta_{at}\cr}}&= \Bigl[1-{1\over c}{\bf\hat p}\cdot{\bf v_O} +{1\over c^2}({\bf\hat p}\cdot {\bf v_O})^2 -{1\over 2 c^2}({\bf v_O})^2\Bigr]{\pmatrix{\cos\alpha_a \cos\delta_a\cr \sin\alpha_a\cos\delta_a\cr \sin\delta_a\cr}}\cr &+\Bigl[{1\over c}-{1\over 2c^2}{\bf \hat p}\cdot{\bf v_O}\Bigr] {\pmatrix{\xi'_v\cr \eta'_v\cr 0\cr}}&(7.1.21)\cr }$$ avec $${\bf \hat p}\cdot{\bf v_O}=\xi'_v\cos\alpha_a \cos\delta_a+ \eta'_v\sin\alpha_a\cos\delta_a,$$ $\xi'_v$ et $\eta'_v$ \'etant donn\'es par la formule (7.1.13). Avec les unit\'es propos\'ees pour cette formule, $c$ est en m\`etres/seconde.\par Les formules (7.1.20) et (7.1.21) sont les extensions relativistes des formules (7.1.12) et (7.1.14). %\pard