\vskip1cm
{\sectt{8.1.2. \'El\'ements de m\'ecanique c\'eleste}}%
%\vskip2mm
{\sectq{8.1.2.1. Remarques g\'en\'erales sur les th\'eories plan\'etaires}}%
\vskip1mm\noindent
Le mouvement des plan\`etes autour du Soleil est un cas particulier du
probl\`eme des $N$ corps. Tous les corps s'attirent les uns les autres
conform\'ement \`a la loi de la gravitation mais on consid\`ere que les
plan\`etes ont une masse faible devant celle du corps central, le Soleil. On
recherche des solutions approch\'ees du probl\`eme, valables sur un intervalle
de temps limit\'e, o\`u les coordonn\'ees sont des fonctions du temps $t$, des
masses des corps en pr\'esence et des constantes d'int\'egration.
 On obtient ces solutions en construisant
des {\it th\'eories analytiques {\rm ou} semi-analytiques} ou en effectuant des
{\it int\'egrations num\'eriques}.
\vskip7mm\noindent
{\it{Les th\'eories analytiques$\,$ {\rm et }$\!$ semi-analytiques.}}
\vskip4mm\noindent
Les coordonn\'ees sont obtenues sous forme de combinaisons de fonctions
alg\'ebriques et trigonom\'etri-\break
ques analytiques du temps $t$ et des
param\`etres du probl\`eme, masses et constantes d'int\'egration. Les th\'eories
sont dites semi-analytiques lorsqu'on donne, avant int\'egration, des valeurs
num\'eriques \`a certains param\`etres.
\vskip7mm\noindent
{\it{Les int\'egrations num\'eriques.}}
\vskip4mm\noindent
Les int\'egrations num\'eriques
donnent les valeurs num\'eriques des coordonn\'ees et des vitesses pour des
valeurs $t_0$, $t_0+h$, $t_0+2h$, etc., $t_0$ \'etant le temps initial et $h$
\'etant le pas d'int\'egration. Les m\'ethodes  d'int\'egration num\'erique
sont  bien adapt\'ees aux calculs par ordinateur  et elles ont \'et\'e
particuli\`erement utilis\'ees aux Etats-Unis. L'int\'egration num\'erique des
{\it Astronomical Papers prepared for the use of the American Ephemeris and
Nautical Almanac (APAE)} r\'ealis\'ee en 1951 a servi de base aux
\'eph\'em\'erides anglaises et am\'ericaines des grosses plan\`etes jusqu'en
1983.
 Ces derni\`eres ann\'ees des
travaux tr\`es importants ont \'et\'e r\'ealis\'es au Jet Propulsion Laboratory
(JPL) et l'int\'egration num\'erique DE200 du JPL sert  de base aux
\'eph\'em\'erides du Soleil et de l'ensemble des plan\`etes publi\'ees par
l'{\it Astronomical Almanac} depuis 1984.
%\vskip3mm
%\parq
\eject\noindent
{\sectq{8.1.2.2. Mouvement k\'epl\'erien}}%
\vskip2mm\noindent
L'orbite k\'epl\'erienne d'une plan\`ete autour du Soleil
est une ellipse parfaitement d\'efinie par six
\'el\'ements qui peuvent \^etre choisis de
diff\'erentes fa\c cons. Nous noterons:
\vskip2mm\noindent
$a$, \hskip1.5em le demi-grand axe de l'orbite; $a$ est reli\'e au moyen
mouvement de la plan\`ete $n$ par
la troisi\`eme\break 
\phantom{$a\,$:} \hskip1.5em loi de Kepler:
$$n^2 a^3=k^2(1+m),\eqno(8.1.1)$$
\vbox{\halign{#\hfil&\quad#\hfil\cr 
&o\`u $m$ est la masse r\'eduite de la plan\`ete
(rapport de la masse de la plan\`ete \`a la masse du\cr
&Soleil) et o\`u $k$ est la
constante de Gauss (\cf 2.2.2);\cr
$e$, &l'excentricit\'e de l'orbite;\cr
$i$, &l'inclinaison de l'orbite sur l'\'ecliptique;
au lieu de  $i$ on utilise  g\'en\'eralement dans les\cr
&\'equations la variable  $\gamma=\sin{\Frac i{\strut 2}}$;\cr
$\Omega$, &la longitude du n\oe ud ascendant de l'orbite sur l'\'ecliptique,
compt\'ee \`a partir de l'\'equinoxe;\cr
$\varpi$, &la longitude du p\'erih\'elie, compt\'ee \`a partir
de l'\'equinoxe jusqu'au n\oe ud ascendant\cr
&sur l'\'ecliptique 
 et ensuite \`a partir du
n\oe ud jusqu'au p\'erih\'elie, sur l'orbite;\cr
& $\varpi$ est  reli\'e \`a
l'argument du p\'erih\'elie $\omega$ par
$\varpi=\omega+\Omega$;\cr
$M$, &l'anomalie moyenne d\'efinie par $M= n(t-\tau)$,\cr 
& o\`u $t$ d\'esigne le
temps et $\tau$,  le temps de passage au p\'erih\'elie;\cr
 & $M$ est reli\'ee \`a la longitude moyenne $\lambda$ par
$\lambda=M+\varpi$.\cr}}
\vskip2mm\noindent
On distingue souvent parmi ces  variables les {\it variables m\'etriques} ($a$, $e$,
$i$ ou $\gamma$) et les {\it variables angulaires} ($\Omega$, $\varpi$ ou $\omega$,
$\lambda$ ou $M$).
\vskip1mm
Les excentricit\'es et les inclinaisons des plan\`etes \'etant faibles,
pour \'eviter de les avoir au d\'enominateur des \'equations (\cf 8.1.2.4),
on utilise souvent au lieu des variables $e$, $\gamma$, $\varpi$, $\Omega$,
les variables suivantes:
$$ k=e\,\cos\varpi\,;\quad
h=e\,\sin\varpi\,;\quad
q=\gamma\,\cos\Omega\,;\quad
p=\gamma\,\sin\Omega.$$
%\vskip2mm
Pour d\'ecrire l'orbite d'une plan\`ete autour du Soleil, nous
utiliserons, le plus souvent,
 soit les six variables
$a,\lambda,e,\varpi,\gamma,\Omega$, soit les six variables
$a,\lambda,k,h,q,p$.
Nous serons  amen\'es \`a distinguer la
longitude moyenne $\lambda$ des autres variables et
nous noterons:
$$\eqalign{
\eta, &\hbox{ l'ensemble des cinq variables elliptiques autres que }\lambda,\cr
\rho, &\hbox{ l'ensemble des six variables  elliptiques utilis\'ees: }
\lbrace\rho\rbrace=\lbrace\eta,\lambda\rbrace.} 
\eqno(8.1.2)$$
\parq
%\vskip2mm
{\sectq{8.1.2.3. Mouvement perturb\'e}}% 
Lorsqu'on consid\`ere le probl\`eme g\'en\'eral 
de $N$ plan\`etes\note{On d\'esigne ici par plan\`ete, le barycentre
de la plan\`ete et de ses satellites \'eventuels affect\'e de la masse totale
du syst\`eme.} gravitant
autour du Soleil, chaque plan\`ete est soumise \`a des perturbations dues
\`a la pr\'esence des autres plan\`etes. 
Consid\'erons une plan\`ete ${\rm P}_i$. S repr\'esentant le Soleil et ${\rm P}_j$ une
plan\`ete diff\'erente de ${\rm P}_i$, 
notons ${\bf r_i}$ le vecteur 
${\bf r_i}={\bf SP_i}\,$ et posons 
$r_i=\vert{\bf SP_i}\vert,\ r_j=\vert{\bf SP_j}\vert,\
\Delta_{ij}=\vert{\bf P_i}{\bf P_j}\vert$; 
les \'equations du mouvement pour la plan\`ete ${\rm P}_i$
s'\'ecrivent:
 $$\dtt{\bf r_i}={\bf grad}\,(U_i+R_i)\eqno(8.1.3)$$
\vskip1mm\noindent
o\`u  $U_i$ est le {\it potentiel k\'epl\'erien} d\^u au Soleil et 
$R_i$ la {\it fonction perturbatrice}: 
$$\eqalign{
U_i&={\Frac{k^2(1+m_i)}{r_i}},\cr  
R_i&=\sum_{j\ne i} k^2m_j\left({\Frac{1}{\Delta_{ij}}}-{{\Frac{{\bf r_i}\cdot
{\bf r_j}} {r_j^3}}}\right),\cr}\eqno(8.1.4)$$ 
la sommation \'etant \'etendue \`a
toutes les plan\`etes  ${\rm P}_j$.
\parq
\vskip2mm
{\sectq{8.1.2.4. \'Equations de Lagrange}}%
L'orbite elliptique k\'epl\'erienne est une premi\`ere approximation
 du mouvement r\'eel d'une plan\`ete. On appelle {\it \'el\'ements osculateurs}
les \'el\'ements elliptiques que prendrait la plan\`ete  \`a
un instant $t$ si, \`a partir de cet instant, toutes les forces perturbatrices
disparaissaient. L'orbite r\'eelle est tangente \`a l'orbite osculatrice \`a l'instant
$t$ et, dans le mouvement perturb\'e, les \'el\'ements osculateurs ne sont
plus des constantes mais des fonctions du temps. Les \'el\'ements osculateurs
sont tr\`es souvent employ\'es pour d\'ecrire le mouvement r\'eel.
Les \'equations
diff\'erentielles utilisant ces variables sont
les \'equations de Lagrange. 
 En  variables $a,
\lambda,e,\varpi,\gamma,\Omega$, ces \'equations s'\'ecrivent:
$$\eqalign{ 
\dt a &= {\Frac 2{na}} \Dron{R}{\lambda} \cr
\dt \lambda &=n-{\Frac 2{na}} \Dron{R}{a} + {\Frac{u_1(1-u_1)}{na^2e}}
\Dron{R}{e}+{\Frac{\gamma}{2na^2 u_1 }} \Dron{R}{\gamma} \cr
\dt e &={\Frac{1}{na^2}}\left[-{\Frac{u_1(1-u_1)}{e}}\Dron{R}{\lambda}-
{\Frac{u_1}{e}} \Dron{R}{\varpi} \right]\cr
\dt \varpi &= {\Frac{1}{na^2}}\left[{\Frac{u_1}{e}}\Dron{R}{e}+
{\Frac{\gamma}{2u_1}}\Dron{R}{\gamma}\right]\cr
\dt \gamma&= {\Frac{1}{na^2}}\left[ -{\Frac{\gamma}{2u_1}}\Dron{R}{\lambda}-
{\Frac{\gamma}{2u_1}}\Dron{R}{\varpi}-{\Frac{1}{4\gamma u_1}}
\Dron{R}{\Omega}\right] \cr
\dt \Omega &= {\Frac{1}{na^2}}{\Frac{1}{4\gamma u_1}}{\Dron{R}{\gamma}}}
\eqno(8.1.5)$$
en posant $u_1=\sqrt{1-e^2}$. 
%\bigskip
\eject
 En  variables $a, \lambda, k,h,q,p$ ces \'equations deviennent:
\vskip2mm
$$\eqalign{ \dt a &= 
{\Frac {2}{na}} \Dron{R}{\lambda} \cr
\dt \lambda &=
n-{\Frac 2{na}} \Dron{R}{a} + {\Frac{u_1u_2}{na^2}}
\left( h\Dron{R}{h}+k\Dron{R}{k} \right) +{\Frac{1}{2 na^2u_1}}
 \left( p\Dron{R}{p}+q\Dron{R}{q} \right)\cr 
\dt k &=
{\Frac{1}{na^2}}\left[-u_1\Dron{R}{h}-ku_1 u_2
\Dron{R}{\lambda}-{\Frac{h}{2u_1}}\left(p\Dron{R}{p}+q\Dron{R}{q}\right)\right]\cr
\dt h &=
{\Frac{1}{na^2}}\left[u_1\Dron{R}{k}-hu_1 u_2
\Dron{R}{\lambda}+{\Frac{k}{2u_1}}\left(p\Dron{R}{p}+q\Dron{R}{q}\right)\right]\cr  
 \dt q &=
 {\Frac{-1}{2na^2u_1}}\left[{\Frac12}\Dron{R}{p}+q\Dron{R}{\lambda}
+q\left( k\Dron{R}{h}-h\Dron{R}{k}\right)\right]\cr
 \dt p &=
 {\Frac{1}{2na^2u_1}}\left[{\Frac12}\Dron{R}{q}-p\Dron{R}{\lambda}
-p\left( k\Dron{R}{h}-h\Dron{R}{k}\right)\right]}\eqno(8.1.6)$$
\vskip2mm
en posant $u_2={\Frac 1{\strut 1+u_1}}\cdotp$
\vskip2mm
   La variable $n$ qui figure,
en particulier, dans les \'equations en $\dt \lambda$ des syst\`emes
(8.1.5) et (8.1.6) 
 s'obtient \`a partir du demi-grand axe par l'\'equation (8.1.1).
Il faut donc faire une double int\'egration de l'\'equation donnant le demi-grand
axe avant de pouvoir obtenir la longitude moyenne. Dans la suite
nous serons amen\'es \`a consid\'erer la variable $\varepsilon$ d\'efinie par:
$${\dt \lambda}=n+{\dt \varepsilon}\cdotp\eqno (8.1.7)$$
\parq
{\sectq{8.1.2.5. Forme des th\'eories analytiques}}% 
Soit $N$ le nombre des plan\`etes ${\rm P}_i\ (1\leq i\leq N)$ du syst\`eme. Le nombre
des variables elliptiques et des \'equations \`a int\'egrer est alors de $6N$.
Nous notons, conform\'ement \`a (8.1.2):
\par\noindent
$\eta_i$, l'ensemble des $5N$ variables du syst\`eme
autres que les longitudes moyennes et  $\lambda_i$ les $N$ longitudes moyennes;
\ligne
 $\eta_i^0$ et $\lambda_i^0$, les constantes  d'int\'egration
correspondant aux variables $\eta_i$ et $\lambda_i$, respectivement.
\vskip2mm
Nous notons, de plus:\par\noindent
$\lambar_i$, les {\it longitudes moyennes moyennes}: $\lambar_i=\bar n_it+\laz_i$
o\`u $\bar n_i$, constante d'int\'egration de $n_i$ (\cf 8.1.3.4),
est le moyen mouvement moyen de la plan\`ete $P_i$. 
\vskip2mm
On peut
distinguer deux types de th\'eories plan\'etaires, les th\'eories
g\'en\'erales et les th\'eories \`a variations s\'eculaires. 
\vskip3mm\noindent {\it Th\'eories g\'en\'erales}
\vskip2mm\noindent
Dans ce type de th\'eories on trouve $3N$ fonctions lin\'eaires du temps 
$\lambar_i$, $\psi_i$ et $\theta_i$
telles que les solutions sont des fonctions
purement p\'eriodiques d'arguments $\Phi$, combinaisons lin\'eaires de $3N$
composantes:
$$\Phi=\sum_{i=1}^N r_i\lambar_i+\sum_{i=1}^N l_i\psi_i
+\sum_{i=1}^N m_i\theta_i\,,\eqno(8.1.8)$$
o\`u  les $\lambar_i$ sont les longitudes moyennes moyennes, les 
$\psi_i$ et les $\theta_i$
sont des arguments dont les p\'eriodes sont de l'ordre de celles des
longitudes des p\'erih\'elies et des longitudes des n\oe uds, respectivement;
$r_i, l_i, m_i$ sont des entiers.

Les  $\lambar_i$ sont des angles rapides
(de p\'eriode de l'ordre de trois mois pour Mercure  jusqu'\`a 165 ans pour
Neptune) tandis que les  $\psi_i$ et les $\theta_i$ 
 sont des angles lents (de p\'eriode de l'ordre de
quelques dizaines de milliers d'ann\'ees). Nous appelons
{\it partie \`a courte p\'eriode} de l'argument $\Phi$ l'expression
$\sum_{i=1}^N r_i\lambar_i$ et {\it partie \`a longue p\'eriode} de
$\Phi$ l'expression $\sum_{i=1}^N l_i\psi_i
+\sum_{i=1}^N m_i\theta_i$. De m\^eme nous appelons {\it arguments \`a
longue p\'eriode} les arguments (8.1.8) pour lesquels $r_i=0$ et nous les notons
$\Pha$.
En d\'efinitive, pour une plan\`ete ${\rm P}(\eta, \lambda)$ quelconque du syst\`eme,
les solutions ont la forme de s\'eries
de Fourier:
\vskip2mm\noindent
$$\eqalign{
\eta&=\etz+\sum_{\Pha}A_{\Pha}\,{\cos\brace\sin}\Pha
+\sum_{\Phi}A_{\Phi}\,{\cos\brace\sin}\Phi\cr
\lambda&=\lambar+\sum_{\Pha}B_{\Pha}\,\sin\Pha
+\sum_{\Phi}B_{\Phi}\,\sin\Phi\,.
}\eqno(8.1.9)$$
\vskip2mm\noindent
Dans les expressions (8.1.9), les coefficients $A_{\Pha},A_{\Phi},
B_{\Pha},B_{\Phi}$ sont des fonctions analytiques ou semi-analytiques
des constantes d'int\'egration; les variables
 $\eta$ sont des s\'eries de cosinus  pour les variables $a,e, i,k,q$
et des s\'eries de sinus pour les variables $\varpi, \Omega,h,p$.
On notera qu'il n'existe pas de termes s\'eculaires dans les
\'el\'ements m\'etriques ni dans les \'el\'ements $k,h,q,p$
ce qui permet \`a ces th\'eories de garder un
intervalle de validit\'e tr\`es grand, de l'ordre de quelques millions
d'ann\'ees.
\vskip3mm\noindent
{\it Th\'eories \`a variations s\'eculaires}
\vskip2mm\rm\noindent
Les th\'eories g\'en\'erales donnent des renseignements  int\'eressants
sur l'\'evolution du syst\`eme solaire sur un temps tr\`es long mais elles ne 
servent pas \`a construire des \'eph\'em\'erides. Celles-ci s'obtiennent \`a
partir de th\'eories \`a variations s\'eculaires dont la forme peut \^etre
d\'eduite de celle des th\'eories g\'en\'erales de la mani\`ere suivante.
Partant des expressions (8.1.9), nous pouvons d\'evelopper par rapport au
temps les fonctions trigonom\'etriques des
arguments \`a longue p\'eriode $\Pha$ et les parties \`a longue p\'eriode
des arguments $\Phi$. Nous obtenons alors les d\'eveloppements des
th\'eories \`a variations s\'eculaires
sous la forme de s\'eries de Poisson des
longitudes moyennes moyennes $\lambar_i$. 
Pour une plan\`ete  ${\rm P} (\eta, \lambda)$, ces d\'eveloppements s'\'ecrivent:
\vskip2mm\noindent
$$\eqalign{
\eta&=\etz+\eta^1\,t+\eta^2\,t^2+\dots+
\eta^p\,t^p
+S^0+t\,S^1+\dots+t^p\,S^p,\cr
\lambda&=\lambda^0+\bar n\,t+l^2\,t^2+\dots+l^pt^p
+L^0+t\,L^1+\dots+t^p\,L^p\,,
}\eqno(8.1.10)$$
\vskip2mm\noindent
o\`u $\bar n$ est le moyen mouvement moyen de la plan\`ete P,
$\eta^1,\eta^2,
\dots,\eta^p,l^2,\dots,l^p$ sont des coefficients
num\'eriques que l'on appelle {\it termes s\'eculaires d'ordre }$1,2,\dots,p$
des variables $\eta$ et $\lambda$
 et o\`u $S^0,\dots,S^p,L^0,\dots,L^p$ sont des s\'eries de Fourier
des $N$ longitudes moyennes moyennes $\lambar_i$. Les termes s\'eculaires
sont les d\'eveloppements par rapport au temps des perturbations \`a
longue p\'eriode des th\'eories g\'en\'erales.
\par
Les solutions sous la forme (8.1.10) sont  beaucoup moins
volumineuses que sous la forme (8.1.9). Elles permettent d'obtenir des
th\'eories plan\'etaires gardant une tr\`es grande pr\'ecision sur un intervalle
de temps de l'ordre du millier d'ann\'ees.
 Bien entendu, dans la pratique, on n'obtient
pas ce type de th\'eorie \`a partir de th\'eories g\'en\'erales et nous allons,
dans le paragraphe suivant, expliquer comment on les construit directement.
\par
On peut aussi construire des th\'eories \`a variations s\'eculaires d'une forme
diff\'erente en exprimant les longitudes moyennes $\lambar_i$ en fonction d'un
seul argument $\nu$ par des relations du type:
$$\lambar_i=q_i\nu+\sigma_it,\eqno(8.1.11)$$
o\`u $\nu$ est une fonction lin\'eaire du temps, $q_i$  un entier et
$\sigma_i$ une quantit\'e tr\`es petite devant le moyen mouvement moyen 
 $\bar n_i$. Avec un choix convenable de l'argument $\nu$, ce type de
solutions permet de repr\'esenter les perturbations de Jupiter et Saturne par
des d\'eveloppements en puissance du temps beaucoup plus rapidement convergents
que les d\'eveloppements classiques (8.1.10) (Simon et Joutel, 1988).
\part